Con frecuencia se nos pide calcular la derivada de una función o encontrar su inversa. ¿Qué ocurre si buscamos una función que permanezca invariante bajo estas dos operaciones aparentemente distintas?
El objetivo de esta entrada es encontrar una función $f$ tal que: $$f'(x)=f^{-1}(x)$$ Esta pregunta nos llevará a una generalización inesperada relacionada con la proporción áurea y la familia de las medias metálicas.
1. El primer caso: $f'(x)=f^{-1}(x)$
Para que $f'$ y $f^{-1}$ pertenezcan a la misma clase de funciones, un candidato natural es una función potencia de la forma: $$f(x)=c\cdot x^r$$ donde $c,r\in\mathbb{R}$.
Calculando la derivada y la inversa: $$f'(x)=crx^{r-1}$$ $$f^{-1}(x)=c^{-1/r}x^{1/r}$$
Al imponer $f'(x)=f^{-1}(x)$ debemos igualar tanto las potencias de $x$ como los coeficientes: 1) Potencias: $r-1=\frac1r\implies r^2-r-1=0$. 2) Coeficientes: $cr=c^{-1/r}$.
La ecuación $r^2-r-1=0$ es precisamente la ecuación que define la proporción áurea $\Phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ y su conjugada $\Psi=\frac{1-\sqrt5}{2}$.
Si consideramos $r>0$, entonces $r=\Phi$. Resolviendo para la constante $c$: $$c\Phi=c^{\Psi}\implies c=\Phi^{\frac{1}{\Psi-1}}$$ utilizando la propiedad $-1/\Phi=\Psi$.
2. Segundo orden: $f''(x)=f^{-1}(x)$
Demos un paso más. ¿Qué ocurre si la segunda derivada es igual a la inversa? $$f''(x)=cr(r-1)x^{r-2}$$ Igualando potencias con la inversa $x^{1/r}$: $$r-2=\frac1r\implies r^2-2r-1=0$$
La solución positiva de esta cuadrática es la proporción plateada, usualmente denotada $\Phi_2=1+\sqrt2$. Esto sugiere un patrón relacionado con las llamadas medias metálicas.
3. Generalización a la derivada $n$-ésima
Para resolver el problema general $f^{(n)}(x)=f^{-1}(x)$ necesitamos algunas definiciones.
Medias metálicas
La media metálica asociada con $n\in\mathbb{N}$, denotada $\Phi_n$, es la solución positiva de: $$x^2=nx+1\implies\Phi_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$$ Su conjugada es $\Psi_n=\frac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}$. Se cumplen $\Psi_n=n-\Phi_n$ y $-1/\Phi_n=\Psi_n$.
Extensión de los factoriales
Como estamos trabajando con derivadas de $x^r$ donde $r$ es real —en particular una media metálica—, no podemos utilizar factoriales ordinarios. Usamos la función Gamma $\Gamma(x)$, que satisface $\Gamma(n+1)=n!$.
La derivada $n$-ésima de $f(x)=x^r$ está dada por: $$f^{(n)}(x)=\frac{\Gamma(r+1)}{\Gamma(r-n+1)}x^{r-n}$$
4. El teorema general
Ya estamos listos para enunciar la solución general.
Problema: Encontrar $f(x)=cx^r$ —con $r>0$— tal que $f^{(n)}(x)=f^{-1}(x)$.
Paso 1: potencias. Igualar los exponentes da $r-n=1/r\implies r^2-nr-1=0$. Como $r>0$, la solución es exactamente la $n$-ésima media metálica: $r=\Phi_n$.
Paso 2: coeficientes. $$c\frac{\Gamma(r+1)}{\Gamma(r-n+1)}=c^{-1/r}$$ Sustituyendo $r=\Phi_n$ y usando $-1/\Phi_n=\Psi_n$: $$c\frac{\Gamma(\Phi_n+1)}{\Gamma(\Phi_n-n+1)}=c^{\Psi_n}$$ Al resolver para $c$ se obtiene: $$c=\left[\frac{\Gamma(1-\Psi_n)}{\Gamma(1+\Phi_n)}\right]^{1-\Psi_n}$$
Existe también una segunda solución $f_2(x)$ al considerar $r<0$ —relacionada con $\Psi_n$—, pero esta produce soluciones reales únicamente cuando $n$ es par, para evitar raíces de números negativos en el cálculo del coeficiente.
Este resultado conecta de manera elegante operadores diferenciales, funciones inversas y las constantes de la sucesión de Fibonacci generalizada conocidas como medias metálicas.