Problema: Calcular la suma $$ S = \sum_{k=1}^{9999} \lfloor \sqrt{k} \rfloor $$
Aunque para una computadora calcular esta suma término a término es trivial, encontrar una fórmula cerrada general ofrece un ejercicio interesante de manipulación de sumas y propiedades de los enteros. Obtengamos la solución para un $n$ cualquiera y después apliquémosla al caso particular.
El enfoque general
Sean $n,m\in\mathbb{N}$ tales que $m$ es la parte entera de la raíz cuadrada de $n$, es decir, $m^2\le n<(m+1)^2$.
La idea clave es agrupar los términos de acuerdo con los valores de $\lfloor\sqrt{k}\rfloor$. Podemos dividir la suma total en tres partes distintas:
- Los intervalos estrictamente comprendidos entre cuadrados consecutivos.
- La “cola” desde $m^2+1$ hasta $n$.
- Los cuadrados perfectos, donde la función piso es exacta.
Podemos reescribir la suma como:
$$ \sum_{k=1}^{n}\lfloor\sqrt{k}\rfloor = \underbrace{\sum_{j=2}^{m}\sum_{k=(j-1)^{2}+1}^{j^{2}-1}\lfloor\sqrt{k}\rfloor}_{\text{Intervalos}} + \underbrace{\sum_{k=m^{2}+1}^{n}\lfloor\sqrt{k}\rfloor}_{\text{Cola}} + \underbrace{\sum_{j=1}^{m}\lfloor\sqrt{j^{2}}\rfloor}_{\text{Cuadrados perfectos}} $$
Análisis de los términos
1. Los intervalos:
Para todo $k$ en el rango $(j-1)^2+1\le k\le j^2-1$ se tienen las desigualdades estrictas $(j-1)^2<k<j^2$. Al tomar raíces cuadradas, $j-1<\sqrt{k}<j$. Por lo tanto, la función piso es constante: $$\lfloor\sqrt{k}\rfloor=j-1$$
2. La cola:
Como $m$ es el mayor entero tal que $m^2\le n$, para el rango $m^2+1\le k\le n$ se tiene $\lfloor\sqrt{k}\rfloor=m$.
3. Los cuadrados perfectos:
Simplemente, $\lfloor\sqrt{j^2}\rfloor=j$.
Sustituyendo estos valores en nuestra expresión:
$$ \sum_{k=1}^{n}\lfloor\sqrt{k}\rfloor = \sum_{j=2}^{m}\left( (j-1) \sum_{k=(j-1)^{2}+1}^{j^{2}-1} 1 \right) + m\sum_{k=m^{2}+1}^{n} 1 + \sum_{j=1}^{m} j $$
Simplificación
Contemos ahora el número de términos de las sumas interiores. El número de términos en el intervalo $((j-1)^2,j^2)$ es: $$ (j^2-1)-[(j-1)^2+1]+1=j^2-1-(j^2-2j+1)=2j-2 $$ El número de términos de la cola es simplemente $n-m^2$. Además, la suma de los enteros viene dada por la fórmula triangular estándar $\frac{m(m+1)}{2}$.
Así, la expresión se convierte en:
$$ \begin{aligned} S &= \sum_{j=2}^{m} (j-1)(2j-2) + m(n - m^2) + \frac{m(m+1)}{2} \\ &= 2\sum_{j=2}^{m} (j-1)^2 + m(n - m^2) + \frac{m^2 + m}{2} \end{aligned} $$
Usando la fórmula para la suma de los primeros $k$ cuadrados, $\sum_{i=1}^k i^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$, y haciendo el cambio de índice $j-1\to i$ —donde $i$ va de 1 a $m-1$—:
$$ 2\sum_{i=1}^{m-1} i^2 = 2 \left[ \frac{(m-1)m(2(m-1)+1)}{6} \right] = \frac{m(m-1)(2m-1)}{3} $$
Combinando todo, llegamos a la fórmula cerrada:
Solución del problema
En nuestro caso particular, $n=9999$. Como $99^2=9801$ y $100^2=10000$, tenemos $m=99$.
Sustituyendo en la fórmula:
$$ \begin{aligned} S &= 99(9999 - 99^2) + \frac{1}{6}(99)(4(99^2) - 3(99) + 5) \\ &= 99(198) + \frac{33}{2}(39204 - 297 + 5) \\ &= 19,602 + \frac{33}{2}(38,912) \\ &= 19,602 + 642,048 \\ &= \mathbf{661,650} \end{aligned} $$