Esta charla recorre la historia analítica de la conjetura de Goldbach, comenzando con la correspondencia original de 1742 entre Leonhard Euler y Christian Goldbach. Definimos formalmente tanto la conjetura fuerte de Goldbach —todo número par $2n>2$ es suma de dos primos, $2n=p_1+p_2$— como la conjetura débil —todo número impar $2n+1>5$ es suma de tres primos, $2n+1=p_1+p_2+p_3$.

Revisamos los primeros intentos heurísticos para resolver estos problemas aditivos mediante las funciones de representación $r_2(n)$ y $r_3(n)$. Se discuten los argumentos combinatorios propuestos por James Joseph Sylvester en 1877 y Paul Stäckel en 1896, así como la demostración rigurosa de Edmund Landau en 1900 sobre el valor promedio $\sum_{x \leq n}r_2(x)$, que refutó la aproximación de Stäckel. También introducimos la criba de Viggo Brun y su teorema de 1920, que estableció que todo número par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos enteros con a lo sumo 9 factores primos cada uno.

El núcleo de la charla se concentra en el Método del Círculo de Hardy–Littlewood y su aplicación a la conjetura mediante la función generadora $F(z)=f(z)^2$ y la Fórmula Integral de Cauchy evaluada en $\int_0^1F(e^{2\pi i\alpha})e^{-2\pi i n\alpha}d\alpha$. Finalmente recorremos la historia de la conjetura débil de Goldbach: desde el teorema asintótico incondicional de Ivan Vinogradov hasta el esfuerzo de décadas por reducir las cotas teóricas, culminando en la demostración completa de Harald Helfgott en 2013 para $N\geq10^{27}$ junto con verificaciones computacionales. Cerramos mencionando el teorema de Chen y el problema de la paridad en relación con la conjetura fuerte.