En esta charla introducimos el estudio de los números de Bernoulli a partir de sumas de potencias enteras y de su relación con la función generadora mediante $\coth(z)$. Presentamos el argumento de Euler, que utiliza la representación de la función seno como producto infinito para establecer la célebre identidad: $$\zeta(2n)=\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}$$

Posteriormente exploramos un enfoque probabilístico moderno. Definimos la variable logarítmica $\Lambda:=\log|\mathbb{C}_1\mathbb{C}_2|$, donde $\mathbb{C}_1$ y $\mathbb{C}_2$ son variables de Cauchy independientes. Al calcular la esperanza matemática $\mathbb{E}[\Lambda^{2n}]$ mediante integración analítica directa, el resultado se expresa en términos de la función zeta de Riemann y la función Gamma. De forma alternativa, utilizando la función generadora de momentos, esta misma esperanza se relaciona con los números secantes —o de Euler— $L_{2n}$: $$\mathbb{E}[\Lambda^{2n}]=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n}L_{2n}$$ Al igualar ambos métodos se obtiene una expresión alternativa para $\zeta(2n+2)$.

Finalmente, la presentación examina el panorama de la función evaluada en enteros impares, $\zeta(2n+1)$. Euler propuso una conjetura sobre estos valores. En 1978 Roger Apéry demostró que $\zeta(3)$ es irracional; posteriormente matemáticos como Rivoal y Zudilin demostraron resultados de irracionalidad para otros valores impares de zeta. Concluimos mostrando cómo la suma de las partes fraccionarias de los valores de la función zeta es igual a $1$, un resultado profundamente conectado con la distribución probabilística del recíproco de una variable uniforme.