En esta primera parte de la charla introducimos las ideas clásicas que condujeron al estudio de la función zeta de Riemann. Comenzamos con el enfoque de Euler para evaluar series como $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},$$ y con su descubrimiento de la representación como producto sobre los números primos. Esto conduce de manera natural a preguntar hasta dónde puede extenderse la función $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$$ más allá de su dominio inicial $\Re(s)>1$.

Después discutimos la continuación analítica de Riemann de $\zeta(s)$ y la ecuación funcional, que relaciona los valores de la función zeta en $s$ y $1-s$. Con estas herramientas describimos la estructura de los ceros triviales en los enteros pares negativos e introducimos la franja crítica $$0\leq\Re(s)\leq1,$$ donde se encuentran todos los ceros no triviales. Prestamos especial atención a la simetría de los ceros y a la definición de la función $\xi$ de Riemann, una función entera que codifica la misma información que $\zeta(s)$.

Finalmente revisamos resultados históricos fundamentales: la fórmula de von Mangoldt para el número de ceros no triviales $$N(T)\sim\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi},$$ y la demostración de Hardy de que existen infinitos ceros sobre la recta crítica. Estas ideas preparan el terreno para enunciar la Hipótesis de Riemann y comprender por qué ocupa un lugar central en la teoría analítica de números moderna.