Exposición y proyectos – Lorenzo Alvarado

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Una colección de artículos expositivos, diapositivas para seminarios y proyectos finales de cursos. A diferencia de los artículos de investigación, el objetivo de estos documentos es pedagógico: introducir temas específicos, revisar literatura existente o presentar demostraciones clásicas en un lenguaje más accesible.

Teoría de Números Probability

Un cúmulo de grandes fórmulas

Teoría Probabilística de Números • (2026-1)

Basada en el artículo de K. L. Chung “A Cluster of Great Formulas”, esta charla verifica que la función theta $F(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n e^{-n^2x}$ es una función de distribución acumulada mediante dos enfoques estocásticos. Primero la identificamos como la distribución del supremo de una sucesión aleatoria usando el producto triple de Jacobi; después, al analizar su transformada de Laplace con la fórmula del producto del seno de Euler, la caracterizamos como la distribución de una suma ponderada de variables exponenciales independientes.

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Teoría de Números Probability Fórmulas

De Dirichlet a Esperanzas ¿O al revés?

Teoría Probabilística de Números • (2025-2)

Esta charla construye un puente entre la teoría analítica de números y la probabilidad interpretando series de Dirichlet como esperanzas de funciones aritméticas mediante la identidad fundamental $\mathbb{E}[f(N_s)]=\frac{1}{\zeta(s)}D_f(s)$. Utilizamos funciones multiplicativas y convolución de Dirichlet para calcular esperanzas explícitas de funciones clásicas como $\Lambda$ de von Mangoldt y obtener fórmulas de varianza para la función de Möbius $\mu$ y la función totiente de Euler $\varphi$.

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Teoría de Números Probability Article

FÓRMULAS DE EULER PARA $\zeta(2n)$ Y PRODUCTOS DE VARIABLES DE CAUCHY

Teoría Probabilística de Números • (2025-2)

Basada en el artículo “EULER’S FORMULAE FOR $\zeta(2n)$ AND PRODUCTS OF CAUCHY VARIABLES”, esta charla contrasta la deducción clásica de Euler mediante la fórmula del producto del seno con una demostración estocástica. Mostramos cómo el cálculo de los momentos del logaritmo del producto de variables de Cauchy independientes, $\Lambda=\log|\mathbb{C}_1\mathbb{C}_2|$, tanto por integración directa como mediante funciones generadoras de momentos —conectadas con los números secantes— recupera los valores exactos de la función zeta de Riemann en los enteros pares.

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Teoría de Números Probability Article

Un enfoque estocástico a la función Gamma

Teoría Probabilística de Números • (2025-2)

Basada en el artículo “A Stochastic Approach to the Gamma Function”, esta charla emplea un marco probabilístico para deducir propiedades fundamentales de $\Gamma(t)$. Demostramos la fórmula de Stirling mediante cotas para funciones poligamma, deducimos el teorema de multiplicación de Gauss a partir de productos de variables Gamma independientes y obtenemos la fórmula de reflexión de Euler analizando la esperanza de diferencias logarítmicas de variables exponenciales.

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Combinatorics Solve problems

Ecuación General de Recurrencias lineales con coeficientes constantes

Fundamentos de Combinatoria • (2023-2)

Esta charla ofrece una introducción estructurada a las relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes. Comenzamos formalizando la definición de estas sucesiones y caracterizando el conjunto de soluciones de recurrencias homogéneas como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. Se presentan dos métodos analíticos para encontrar la fórmula general: el método lineal, que utiliza las raíces de la ecuación característica teniendo en cuenta su multiplicidad algebraica, y el método de series, que aplica funciones generadoras ordinarias y descomposición en fracciones parciales para resolver sistemas homogéneos y no homogéneos.

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Variable Compleja Historia Fórmulas

La función zeta en los números naturales

Variable Compleja III • (2023-1)

Esta charla estudia los valores de la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ en argumentos enteros. Revisamos la evaluación de Euler de los valores pares $\zeta(2n)$ en términos de potencias de $\pi$ y números de Bernoulli, y discutimos el marcado contraste con los valores impares $\zeta(2n+1)$, cuya naturaleza aritmética sigue siendo en gran medida misteriosa. La presentación destaca resultados conocidos, teoremas parciales de irracionalidad y problemas abiertos relacionados con valores especiales de $\zeta(s)$.

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Álgebra Historia

Teorema Fundamental de Algebra

Álgebra Moderna II • (2022-2)

Esta charla presenta un enfoque histórico y algebraico del Teorema Fundamental del Álgebra. Recorre el desarrollo de las ecuaciones polinomiales desde los primeros métodos para ecuaciones cuadráticas y cúbicas hasta la introducción de los números complejos, y se concentra después en una demostración moderna basada en extensiones de campos, elementos algebraicos y clausuras algebraicas. La presentación enfatiza que el campo $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado y explica cómo esta propiedad garantiza que todo polinomio no constante con coeficientes reales tiene al menos una raíz compleja.

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Variable Compleja Resolución de problemas

Soluciones Ejercicios 10 y 11

Variable Compleja I • (2022-1)

Esta charla presenta soluciones detalladas a dos problemas clásicos de Variable Compleja I. El primero establece la identidad trigonométrica $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}$ utilizando raíces de la unidad y propiedades elementales de las exponenciales complejas. El segundo evalúa una integral compleja que involucra una rama de la función raíz cuadrada, poniendo énfasis en dominios de analiticidad, cortes de rama y una aplicación del teorema de Cauchy.

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Teoría de Números Historia

Capitulo 12: “Phifofu”

Recreaciones en Teoría de Números • (2022-1)

Esta charla explora la función totiente de Euler $\varphi(n)$, su definición, propiedades fundamentales y estructura multiplicativa. Discutimos fórmulas explícitas para calcular $\varphi(n)$ mediante factorización prima, obtenemos cotas generales para su crecimiento y estudiamos diversas ecuaciones y problemas de divisibilidad que involucran $\varphi(n)$. La presentación concluye con una introducción a problemas abiertos clásicos, entre ellos el problema de Lehmer y la conjetura de Carmichael sobre la no inyectividad de la función totiente.

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Teoría de Números Historia

Capitulo 3: “Perfección”

Recreaciones en Teoría de Números • (2022-1)

Esta charla presenta un panorama histórico y matemático de los números perfectos, definidos como enteros $N$ que satisfacen $\sigma(N)=2N$. Discutimos ejemplos clásicos, la construcción de Euclides $N=2^{p-1}(2^p-1)$ para primos de Mersenne y el teorema de Euler que muestra que esta fórmula caracteriza a todos los números perfectos pares. La charla concluye con una discusión de los números perfectos impares y su condición de problema abierto de larga data en teoría de números.

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* Estos documentos fueron escritos durante mis años de formación y no han sido revisados por pares.

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